Monty Hall Problem

 

Monty Hall ဆိုတာက အေမရိကန္ ဂိမ္းရွိဳးပြဲတစ္ခုက အစီအစဥ္တင္ဆက္တဲ့သူတစ္ေယာက္ေပါ့။ သူ႕ရဲ႕ ဂိမ္းရွိဳးပြဲက ဘယ္လိုလဲဆိုေတာ့ တံခါးသံုးခ်ပ္ေနာက္မွာ ကားတစ္စီးနဲ႕ ဆိတ္ႏွစ္ေကာင္ကို ထားထားတယ္။ ဘယ္တံခါးေနာက္မွာ ဘာရွိလဲဆိုတာကေတာ့ Monty Hall ပဲ သိတာေပါ့။ ျပီးေတာ့ လာကစားတဲ့သူကို ၾကိဳက္တဲ့တံခါးတစ္ခု ေရြးခိုင္းလိုက္တယ္။ အဲဒီတံခါးက တံခါး A ဆိုပါေတာ့။ ျပီးေတာ့ Monty Hall က တံခါး B နဲ႕ တံခါး C ထဲက ဆိတ္ရွိတဲ့ တံခါးတစ္ခုကို ေရြးျပီး ဖြင့္ျပလိုက္တယ္။ တံခါး C ကို ဖြင့္ျပလိုက္တယ္လို႕ ထားလိုက္ရေအာင္။ ျပီးေတာ့မွ လာကစားတဲ့သူကို တံခါး A ပဲ ဆက္ေရြးမလား။ ဒါမွမဟုတ္ တံခါး B ကို ေျပာင္းေရြးမလားေမးတယ္။ သူေရြးလိုက္တဲ့ တံခါးမွာ ကားရွိရင္ သူက အဲဒီကားကို ရမယ္ေပါ့။

ဒီေတာ့ Statisticians ေတြက ျပႆနာေတြကို မရွိ ရွိေအာင္ မီးခြက္ထြန္းရွာတဲ့ ေနရာမွာ ထိပ္ဆံုးကဆိုေတာ့ ေမးခြန္းေလးတစ္ခု ေမးလာပါတယ္။ တံခါး A ပဲ ျပန္ဆက္ေရြးတဲ့သူက ကားရႏိုင္ေခ် ပိုရွိသလား၊ တံခါး B ေျပာင္းေရြးတဲ့သူက ကားရႏိုင္ေခ် ပိုရွိသလား ေပါ့။ အဲဒီ ျပႆနာကို အစီအစဥ္တင္ဆက္သူ Monty Hall ကို အေၾကာင္းျပဳျပီး Monty Hall Problem လို႕ နာမည္ေပးထားပါတယ္။

စာဖတ္သူတို႕ေကာ ဘယ္လိုထင္သလဲ။ 

ဒီကစားပြဲေလးက Conditional Probability နဲ႕ Statistics က Bayes Theorem ကို သံုးျပီး လွည့္ထားတဲ့ ကစားပြဲေလး ျဖစ္ပါတယ္။ အေျဖမွန္ကေတာ့ တံခါး B ေျပာင္းေရြးတဲ့သူက ကားရႏိုင္ေခ် ပိုမ်ားပါတယ္။ မထင္ရဘူးေနာ္။ ကစားတဲ့သူေတာ္ေတာ္မ်ားမ်ားကေတာ့ တံခါး A ကိုပဲ ဆက္ေရြးျဖစ္ပါတယ္။ Bayes Theorem အရ တံခါး B မွာ ကားရွိလ်က္နဲ႕ အစီအစဥ္တင္ဆက္တဲ့သူက တံခါး C ကို ဖြင့္ႏိုင္ေခ်က သံုးပံုႏွစ္ပံုရွိပါတယ္။ ဒါေပမယ့္  တံခါး A မွာ ကားရွိလ်က္နဲ႕ တံခါး C ကို ဖြင့္ႏိုင္ေခ်က ႏွစ္ပံုတစ္ပံုပဲ ရွိပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ ကစားတဲ့သူေတြက တံခါး B ေျပာင္းေရြးလိုက္ရင္ ကားရႏိုင္ေခ် ပိုမ်ားသြားတာပါ။ 

အေသးစိတ္ တြက္ထားတာကို ေအာက္မွာ ၾကည့္ႏိုင္ပါတယ္။

***********************************************************************************************************************

 ၁။ ဘယ္တံခါးေနာက္မွာ မဆို ကားရွိႏိုင္ေခ်က သံုးပံုတစ္ပံုရွိတယ္။

        P ( Car in A ) = P ( Car in B ) = P ( Car in C ) = 1/3

၂။ တံခါး A ေနာက္မွ ကားရွိလို႕ရွိရင္ Monty Hall က တံခါး C ကို ဖြင့္ေပးႏိုင္ေခ်က ႏွစ္ပံုတစ္ပံု ရွိပါတယ္။

        P ( Monty Hall chose B | Car in A ) = P ( Monty Hall chose C | Car in A ) = 1/2

၃။ တစ္ကယ္လို႕ တံခါး B ေနာက္မွာ ကားရွိလို႕ရွိရင္ေတာ့ Monty Hall က တံခါး C ကို မဖြင့္  မေနရ ဖြင့္ရပါေတာ့မယ္။

       P ( Monty Hall chose B | Car in B ) = 0

       P ( Monty Hall chose C | Car in B ) = 1

၄။ Bayes Theorem အရ Monty Hall က တံခါး C ကို ဖြင့္ျပလိုက္လို႕ရွိရင္ တံခါး B ေနာက္မွာ ကားရွိႏိုင္ေခ် 

       P ( Car in B | Monty Hall chose C )  

  

   =                        P ( Monty Hall chose C | Car in B )    x    P ( Car in B )                                            

                                                             P ( Monty Hall chose C )

   =                         P ( Monty Hall chose C | Car in B )    x    P ( Car in B )                                             

      P ( Monty Hall chose C | Car in B )  x  P ( Car in B )   +   P ( Monty Hall chose C | Car in A )  x  P ( Car in A )

   =                                                              1               x         1/3                                                        

                                      1             x        1/3               +          1/2       x          1/3

   =  2/3

၅။ Bayes Theorem အရ Monty Hall က တံခါး C ကို ဖြင့္ျပလိုက္လို႕ရွိရင္ တံခါး A ေနာက္မွာ ကားရွိႏိုင္ေခ် 

       P ( Car in A | Monty Hall chose C )  

  

    =                      P ( Monty Hall chose A | Car in B )     x    P ( Car in A )                                            

                                                             P ( Monty Hall chose C )

    =                      P ( Monty Hall chose C | Car in B )     x    P ( Car in B )                                             

      P ( Monty Hall chose C | Car in B )  x  P ( Car in B )  +  P ( Monty Hall chose C | Car in A )  x  P ( Car in A )

    =                                                            1/2           x      1/3                                                           

                                     1             x        1/3               +      1/2        x          1/3

    =  1/3