Numbers vs Proporation vs Rates

ကၽြန္မ ေက်ာင္းမွာတုန္းက ဆရာေျပာခဲ့တဲ့ ဟာသေလးတစ္ခုကို ျပန္ေျပာျပခ်င္ပါတယ္။

သုေတသီတစ္ေယာက္က ဓါတ္ခြဲခန္းထဲမွာ ေဆးဝါးအသစ္တစ္ခုရဲ႕ အစြမ္းကို ၾကြက္ေတြမွာ စမ္းသပ္ေနပါတယ္။ အဲဒီေဆးက ၾကြက္ေတြမွာ ၃၀% ကေတာ့  ေဆးနဲ႕ဓါတ္မတည့္လို႕ ေသသြားတယ္။ က်န္တဲ့ၾကြက္ေတြရဲ႕ ၅၀% မွာေတာ့ ေဆးက အရမ္းကို အစြမ္းထက္တယ္ဆိုပဲ။ ဒါေပမယ့္ ေနာက္ဆံုး က်န္တဲ့ ၾကြက္တစ္ေကာင္ကေတာ့ ထြက္ေျပးသြားတယ္။

နဂိုကတည္းက ၾကြက္ ၃ ေကာင္နဲ႕ sample size ေသးေသးနဲ႕ လုပ္ထားတဲ့ စမ္းသပ္ခ်က္။ အဲဒီမွာကတည္းက စမွားေနျပီ။ ျပီးေတာ့ ၾကြက္တစ္ေကာင္ေသတယ္၊ တစ္ေကာင္မွာ ေဆးက အစြမ္းထက္တယ္၊ တစ္ေကာင္က လြတ္သြားတယ္ဆိုတဲ့ အေၾကာင္းကို ဖတ္တဲ့သူ မသိေအာင္ ရာခိုင္ႏႈန္းေတြနဲ႕ မိုးတစ္လံုး၊ ေလတစ္လံုး ေျပာသြားတယ္။ ဒီဟာသေလးကေတာ့ ကၽြန္မတို႕လို Statistician ေတြ နံပါတ္ေတြနဲ႕ မလိမ့္တစ္ပတ္လုပ္တတ္တဲ့ အက်င့္ကို ေျပာျပေနတာပါ။ ေနာက္ဥပမာေတြ ထပ္ေျပာျပမယ္ေနာ္။ သတင္းစာတို႕၊ ဂ်ာနယ္တို႕ထဲမွာ ပါတတ္တဲ့ ေခါင္းစီးေလးေတြပါ။

ဒီေဆးေသာက္လို႕ရွိရင္ ႏွလံုးေရာဂါျဖစ္ႏႈန္း တစ္ဝက္ေလ်ာ့သြားတယ္။ (ရာခိုင္ႏႈန္း)
တစ္ဝက္ဆိုတာ ဘာကိုဝက္တာလဲ။ ၂ ေယာက္မွာ ၁ ေယာက္ ႏွလံုးေရာဂါမျဖစ္လည္း တစ္ဝက္ေလ်ာ့တာပဲ။ အေယာက္ ၈၀ မွာ ၄၀ ႏွလံုးေရာဂါ မျဖစ္လည္း တစ္ဝက္ေလ်ာ့တာပဲ။ ဒါေပမယ့္ ၂ ေယာက္ ၁ ေယာက္ ေလ်ာ့တာဆိုရင္ေတာ့ ဒီေဆးအေပၚမွာ ယံုၾကည္ခ်က္ သိပ္မရွိသင့္ပါဘူး။

အေမရိကားက ဖေလာ္ရီဒါျပည္နယ္မွာ နယူးေယာက္ျပည္နယ္ထက္ လူအိုေတြ ေသတာမ်ားတယ္။ (နံပါတ္)
ဒီေတာ့ ကိုယ္အသက္ၾကီးလာရင္ မေသေအာင္ ဖေလာ္ရီဒါျပည္နယ္ကို ေဝးေဝးက ေရွာင္ရမလိုျဖစ္ေနျပီ။ တကယ္က ဖေလာ္ရီဒါျပည္နယ္က အေမရိကားေတာင္ပိုင္းမွာ။ ရႈခင္းလွတယ္။ ရာသီဥတုသာယာတယ္။ အဘိုးၾကီး အဘြားၾကီးေတြ အျငိမ္းစားယူျပီးရင္ ဖေလာရီဒါေျပာင္းၾကတာမ်ားတယ္။ နယူးေယာက္မွာက အလုပ္လုပ္တဲ လူလတ္ပိုင္းေတြ ေနၾကတာမ်ားတယ္။ ဒီေတာ့ ဖေလာ္ရီဒါက နယူးေယာက္ထက္ လူအိုပိုမ်ားေတာ့ ေသတဲ့သူပိုမ်ားတာ ဘာဆန္းလဲ။ ဖေလာ္ရီဒါမွာ ေနတဲ့လူအိုေတြထဲက ေသတဲ့ႏႈန္းနဲ႕ နယူးေယာက္မွာ ေနတဲ့လူအိုေတြထဲက ေသတဲ့ႏႈန္းနဲ႕ ယွဥ္ရင္ေတာ့ ဘယ္မွာေနေန မထူးပါဘူး။ ေသမွာက ေသမွာပါပဲ။

ကိုယ္က နံပါတ္ေတြ၊ အပိုင္းကိန္းေတြ၊ ရာခိုင္ႏႈန္းေတြ စတာေတြကို ေတြ႕ရင္ တစ္ခုထဲနဲ႕ မလံုေလာက္ပါဘူး။ ဘယ္တစ္ခုမဆို ကိုယ္ေျပာခ်င္တာအေပၚ မူတည္ျပီး လွည့္ပတ္လိမ္သြားလို႕ရပါတယ္။ ေနာက္ဆို နံပါတ္တစ္ခုခုေတြ႕လို႕ရွိရင္ ခ်က္ခ်င္း အမွန္လို႕ မယူဆဘဲ နည္းနည္းေလး အခ်ိန္ယူျပီး ဒီနံပါတ္ မွန္ႏိုင္၊ မမွန္ႏိုင္ စဥ္းစားေစခ်င္ပါတယ္။ ကၽြန္မ အေတြ႕အၾကံအရေတာ့ စာေရးတဲ့သူက လိုရာဆြဲေရးထားျပီး မမွန္တာေတြ မ်ားေနလို႕ပါ။

Happy Probabilistic Birthday to Me

Today is my birthday. And I wonder if I ask people their birthdays at work, one at a time, then on average how many do I have ask until I get someone having the same birthday as me. 

The answer is 253. We can ask this question in a similar but probabilistic way. The trick is to keep in mind about "average". So "mid-way", right?

Basically, this is the same as asking the question, "How many people should I ask so that the probability that at least someone shares the same birthday as me is greater than 0.5?" Or let me even rephrase it again. "How many people should I ask so that the probability that none shares my birthday is less than 0.5?" That's complimentary theory.

So, let's forget about leap year and let's assume that there are 365 days in a year. And I will be having a party, letting people enter into the party room one at time and asking their birthday one at a time as they enter. I don't care if they share the same birthday between themselves. They only need to have a different birthday from me to be let into my party.

The first person enters and the probability that he or she has a different birthday from me is 364/365. The same goes for the second person, the third person and so on. By k-th person, we have 
          (364/365)^k   <  1/2 
And if we solve the inequality, we get the smallest k to be 253.

QED.
 

Statistical Jokes 2

A biologist, a statistician and a mathematician are sitting outside a cafe watching the world go by. A man and a woman enter a building across the road. Ten minutes later, they come out accompanied by a child.

"They've reproduced," says the biologist.

"No," says the statistician. "It's an observational error. On average, two and a half people went each way."

"No, no, no," says the mathematician. "It's perfectly obvious. If someone goes in now, the building will be empty."

Statistical Jokes 1

Here are a few statistical jokes that I ran across and that I couldn't help but collecting. 

1) A statistician is someone who loves to work with numbers but doesn't have the personality to be an accountant. 
2) How many statisticians does it take to change a light bulb? 1-3, alpha = .05 
3) There is no truth to the allegation that statisticians are mean. They are just your standard normal deviates. 
4) Why don't statisticians like to model new clothes? Lack of fit. 
5) Never show a bar chart at an AA meeting. 
6) The last few available graves in a cemetery are called residual plots. 
7) Old statisticians never die, they just undergo a transformation. 
8) How do you tell one bathroom full of statisticians from another? Check the p-value. 
9) Did you hear about the statistician who made a career change and became a surgeon specializing in ob/gyn? His specialty was histerectograms. 
10) Some statisticians don't drink because they are t-test totalers. Others drink the hard stuff as evidenced by the proliferation of box-and-whiskey plots.

Date Night

ေဒတာသြင္းရင္ အမွား အမ်ားတတ္ဆံုးက ရက္စြဲျဖစ္ပါတယ္။ အထူးသျဖင့္ ရက္စြဲကိုသံုးျပီး တြက္ခ်က္မႈေတြ လုပ္ခ်င္တယ္ဆိုရင္ ရက္စြဲမွားလို႕ မျဖစ္ပါဘူး။ ဒီမွာေတာ့ Excel ကို ဥပမာေပးျပီး မွားတတ္တာေလးေတြ ေျပာသြားပါမယ္။


(၁) 
Excel မွာ အျပည့္ကိန္း ၁ က January 1, 1900 ရက္ကို ကိုယ္စားျပဳပါတယ္။ အျပည့္ကိန္း ၃၁ က  January 31, 1900 ရက္ေပါ့။ အဲ အျပည့္ကိန္း ၃၂ က်ေတာ့  February 1, 1900 ရက္ ျဖစ္သြားပါတယ္။ တစ္ကယ္တမ္းေတာ့ Excel က ကိုယ္ေရးလိုက္တဲ့ ေန႕စြဲနဲ႕ January 1, 1900 ရက္ၾကားက ရက္ေပါင္းကို တြက္ထားတာ ျဖစ္ပါတယ္။ ဒီေန႕ ေန႕စြဲဆိုရင္ ဂဏန္းတန္ဖိုး ၄၀၀၀၀ ေက်ာ္ရွိတဲ့ အျပည့္ကိန္းတစ္ခု ထြက္လာပါလိမ့္မယ္။ တစ္ျခား ေဆာ့ဝဲေတြမွာေတာ့ အျပည့္ကိန္း ၁ က January 1, 1900 ရက္ေတာ့ ျဖစ္ခ်င္မွျဖစ္ေပမယ့္ Excel လိုပဲ ရက္စြဲေတြကို အျပည့္ကိန္းေတြနဲက ကိုယ္စားျပဳထားပါတယ္။ အခ်ိဳ႕ေဆာ့ဖ္ဝဲ (ဥပမာ SPSS၊ SAS) ေတြမွာဆိုရင္ အႏႈတ္ကိန္းျပည့္ေတြေတာင္ ရက္စြဲအျဖစ္ေျပာင္းလို႕ရပါတယ္။ ဥပမာ ကိန္းျပည့္ -၁ ဆိုရင္ December 31, 1899 ရက္ ျဖစ္သြားတာမ်ိဳးေပါ့။


(၂)
ရက္စြဲေတြနဲ႕ ပတ္သက္ျပီး အမွားအမ်ားတတ္ဆံုးကေတာ့ အေမရိကန္ ရက္စြဲပံုစံနဲ႕ ျဗိတိန္ရက္စြဲပံုစံမွားတာပါပဲ။
- အေမရိကန္က လ၊ ရက္၊ ႏွစ္ လို႕ ေရးတယ္။
- ျဗိတိန္က       ရက္၊ လ၊ ႏွစ္ လို႕ ေရးတယ္။

မ်ားေသာအားျဖင့္ ျမန္မာႏိုင္ငံက ကြန္ျပဴတာေတြက အေမရိကန္ပံုစံက မူရင္းပံုစံျဖစ္ပါတယ္။ ဒါေပမယ့္လည္း ျမန္မာႏိုင္ငံမွာ စာခ်ဳပ္စာတမ္းေတြ၊ ဘာေတြလုပ္မယ္ဆိုရင္ ေရးတဲ့ ပံုစံက ျဗိတိန္ပံုစံ ျဖစ္ပါတယ္။ ကိုယ့္ကြန္ျပဴတာက Excel က အေမရိကန္ပံုစံျဖစ္ေနတာကို ရက္၊ လ၊ ႏွစ္ သြားထည့္လိုက္လို႕ရွိရင္ ဒီမွာတင္ တိုင္ပတ္ေတာ့တာပဲ။ ဥပမာ ကိုယ္က November 12, 2013 ခုႏွစ္ ေရးခ်င္တာကို 12/11/13 လို႕ Excel မွာ ေရးလိုက္လို႕ရွိရင္ သူ႕အတြက္ အျပည့္ကိန္းက ၄၁၅၁၉ ျဖစ္သြားပါလိမ့္မယ္။ ကိုယ္လိုခ်င္လိုက္တဲ့ အျပည့္ကိန္းကေတာ့ ၄၁၅၉၀ ျဖစ္ပါတယ္။ ဒီအမွားကို ေရွာင္ရတာ လြယ္ပါတယ္။ ကိုယ္လိုခ်င္တဲ့ ရက္စြဲပံုစံကို Format ထဲမွာ  ေသေသခ်ာခ်ာ ေျပာင္းထည့္ထားရံုပါပဲ။


(၃) 
Excel မွာ အတိုေကာက္ ခုႏွစ္ ၀၀ ကေန ၂၉ က ၂၀၀၀ ခုႏွစ္ကေန ၂၀၂၉ ခုႏွစ္အထိကို ကိုယ္စားျပဳျပီး ၃၀ ကေန ၉၉ အထိက ၁၉၃၀ ခုႏွစ္ကေန ၁၉၉၉ ခုႏွစ္ အထိကို ကိုယ္စားျပဳပါတယ္။ ကိုယ္က ေစာေစာကလို November 12, 2013 ကို အေမရိကန္ပံုစံနဲ႕ အတိုေကာက္ ေရးခ်င္တယ္ဆိုပါေတာ့။ 11/12/13 လို႕ ေရးလိုက္လို႕ရွိရင္ ရပါတယ္။ ဒါေပမယ့္ November 12, 1913 ကို ေရးခ်င္တယ္ဆိုရင္ေတာ့ အတိုေကာက္ပံုစံနဲ႕ မရေတာ့ပါဘူး။ ဒါေၾကာင့္မို႕ ၁၉၃၀ မတိုင္ခင္နဲ႕ ၂၀၂၉ ျပီးမွ ရက္စြဲေတြကို အတိုေကာက္ေရးလို႕ မရပါဘူး။ Excel မွာ ရက္စြဲ မွန္မွန္ကန္ကန္ျဖစ္သြားဖို႕ ခုႏွစ္ကို ဂဏန္း ၄ ခုလံုးရးမွ ျဖစ္ပါမယ္။


(၄)
ေနာက္ဆံုးျဖစ္တတ္တဲ့ အမွားကေတာ့ ရက္စြဲ စာလံုးေပါင္းမွားတာမ်ိဳးေပါ့။ November 11, 2013 လို႕ေရးမယ့္ အစား Novermber 11, 2013 ေရးတာတို႕၊ November 11,2013 မွာလို Space ေမ့က်န္ခဲ့တာမ်ိဳးေပါ့။ ေနာက္ျပီးရွိေသးတယ္။ 11/12/2013 လို႕မေရးဘဲ 11.12.13 ဆိုျပီး Full Stop (Period) ေတြ ခံျပီးေရးတာမ်ိဳးေပါ့။ ကိုယ္က စာလံုးေပါင္းမွားသြားလို႕ရွိရင္ Excel က အဲဒီ Cell ကို ရက္စြဲလို႕ မသတ္မွတ္ေတာ့ဘဲ စာသားလို႕ပဲ သတ္မွတ္သြားပါလိ္မ့္မယ္။ အဲဒါဆိုရင္ေတာ့ ကိုယ္က ရက္စြဲကို အသံုးျပဳျပီး တြက္ခ်က္ထားတာ မွန္သမွ် တြက္လို႕မရဘဲ ျဖစ္သြားပါလိမ့္မယ္။


(၅)
အထူးသျဖင့္ ကိုယ္က စီးပြားေရးတို႕၊ ေဆးပညာတို႕မွာလို အခ်ိန္ကာလကို သံုးရတဲ့ တြက္ခ်က္မႈေတြ ရွိလို႕ရွိရင္ ရက္စြဲက မွန္ေနဖို႕လိုပါတယ္။ အေပၚက ေျပာခဲ့တာေတြက အေသးအမႊားေတြ ဆိုေပမယ့္ အေရးဆိုရင္ သူတို႕ေမႊေနတာပဲ မ်ားပါတယ္။ သတိထားေတာ္မူၾကပါကုန္။

Yangon Real Estate Heatmap

Lately, I have seen so many facebook posts by my young urban professional friends about how it will be impossible for them to ever own a decent place in Yangon anytime soon. As everyone knows and/or have read this Bloomberg article, real estate prices in Yangon are way higher than average real estate price in Manhattan. 

Sad, isn't it? And here I am, putting more people to distress by making a heatmap out of real estate prices, as posted on Shwe Property, Myanmar Real Estate and facebook pages within the past 3 months. 

Enjoy the map and don't despair. I toned down the heat not to scare people.

Count of Excel Cristo

Excel မွာ တစ္ခုခု 
ေရတြက္ခ်င္လို႕ရွိရင္ 
Cell တစ္ခု ႏွစ္ခုေလာက္ဆိုရင္ေတာ့ မ်က္လံုးနဲ႕ ၾကည့္ျပီး
ေရတြက္လို႕ရေပမယ့္ 
ကိုယ္ေရတြက္ရမယ့္ 
Cell ေတြ မ်ားလာရင္ေတာ့  
Count Function ေတြ 
မသိဘဲ 
အလုပ္မျဖစ္ပါဘူး။





Excel က Count Function ေတြမွာ အဓိကကေတာ့ ၄ မ်ိဳးရွိပါတယ္။
၁။ COUNT                                                                နံပါတ္ပါတဲ့ Cell အေရအတြက္
၂။ COUNTA                                                              စာသားပါတဲ့ Cell အေရအတြက္
၃။ COUNTBLANK                                                      ဗလာျဖစ္ေနတဲ့ Cell အေရအတြက္
၄။ COUNTIF သို႕မဟုတ္ COUNTIFS                               အားလံုးထဲမွာ စိတ္ဝင္စားဖို႕ အေကာင္းဆံုးပါ။ ဒါနဲ႕ဆိုရင္ ကိုယ္သိခ်င္တာမွန္သမွ် ေရတြက္လို႕ရပါတယ္။ 

ေအာက္မွာေတာ့ COUNTIF Function သံုးလို႕ရတဲ့ နည္းလမ္းနည္းနည္းပါးပါးကို အျမည္းေပးထားပါတယ္။ ေဒတာ Range ကေတာ့ အခုေလာေလာဆယ္ A1 ကေန A10 အထိပဲ ေပးထားပါတယ္။

=COUNTIF(A1:A10,"Hninn")                                         Hninn ဆိုတဲ့ စာလံုးပါတဲ့ Cell အေရအတြက္
=COUNTIF(A1:A10,"*")                                                စာသားပဲပါတဲ့ Cell အေရအတြက္။ COUNTA နဲ႕ ဆင္ပါတယ္။
=COUNTIF(A1:A10,"?????")                                           စာလံုး ၅ လံုးပဲပါတဲ့ Cell အေရအတြက္
 =COUNTIF(A1:A10,"H*")                                             H နဲ႕စတဲ့ စာလံုးပါတဲ့ Cell အေရအတြက္
 =COUNTIF(A1:A10,"*n")                                             n နဲ႕ ဆံုးတဲ့ စာလံုးပါတဲ့ Cell အေရအတြက္
 =COUNTIF(A1:A10,">=10")                                         ၁၀ နဲ႕ အထက္ဂဏန္းပါတဲ့ Cell အေရအတြက္
 =COUNTIF(A1:A10,">20") - COUNTIF(A1:A10,">10")   ၁၀ နဲ႕ ၂၀ အၾကား နံပါတ္ပါတဲ့ Cell အေရအတြက္

Count Function ေတြ သိျပီးသြားရင္ ေနာက္ဆို ေပသီးမလိုေတာ့ဘူး။

Monty Hall Problem

 

Monty Hall ဆိုတာက အေမရိကန္ ဂိမ္းရွိဳးပြဲတစ္ခုက အစီအစဥ္တင္ဆက္တဲ့သူတစ္ေယာက္ေပါ့။ သူ႕ရဲ႕ ဂိမ္းရွိဳးပြဲက ဘယ္လိုလဲဆိုေတာ့ တံခါးသံုးခ်ပ္ေနာက္မွာ ကားတစ္စီးနဲ႕ ဆိတ္ႏွစ္ေကာင္ကို ထားထားတယ္။ ဘယ္တံခါးေနာက္မွာ ဘာရွိလဲဆိုတာကေတာ့ Monty Hall ပဲ သိတာေပါ့။ ျပီးေတာ့ လာကစားတဲ့သူကို ၾကိဳက္တဲ့တံခါးတစ္ခု ေရြးခိုင္းလိုက္တယ္။ အဲဒီတံခါးက တံခါး A ဆိုပါေတာ့။ ျပီးေတာ့ Monty Hall က တံခါး B နဲ႕ တံခါး C ထဲက ဆိတ္ရွိတဲ့ တံခါးတစ္ခုကို ေရြးျပီး ဖြင့္ျပလိုက္တယ္။ တံခါး C ကို ဖြင့္ျပလိုက္တယ္လို႕ ထားလိုက္ရေအာင္။ ျပီးေတာ့မွ လာကစားတဲ့သူကို တံခါး A ပဲ ဆက္ေရြးမလား။ ဒါမွမဟုတ္ တံခါး B ကို ေျပာင္းေရြးမလားေမးတယ္။ သူေရြးလိုက္တဲ့ တံခါးမွာ ကားရွိရင္ သူက အဲဒီကားကို ရမယ္ေပါ့။

ဒီေတာ့ Statisticians ေတြက ျပႆနာေတြကို မရွိ ရွိေအာင္ မီးခြက္ထြန္းရွာတဲ့ ေနရာမွာ ထိပ္ဆံုးကဆိုေတာ့ ေမးခြန္းေလးတစ္ခု ေမးလာပါတယ္။ တံခါး A ပဲ ျပန္ဆက္ေရြးတဲ့သူက ကားရႏိုင္ေခ် ပိုရွိသလား၊ တံခါး B ေျပာင္းေရြးတဲ့သူက ကားရႏိုင္ေခ် ပိုရွိသလား ေပါ့။ အဲဒီ ျပႆနာကို အစီအစဥ္တင္ဆက္သူ Monty Hall ကို အေၾကာင္းျပဳျပီး Monty Hall Problem လို႕ နာမည္ေပးထားပါတယ္။

စာဖတ္သူတို႕ေကာ ဘယ္လိုထင္သလဲ။ 

ဒီကစားပြဲေလးက Conditional Probability နဲ႕ Statistics က Bayes Theorem ကို သံုးျပီး လွည့္ထားတဲ့ ကစားပြဲေလး ျဖစ္ပါတယ္။ အေျဖမွန္ကေတာ့ တံခါး B ေျပာင္းေရြးတဲ့သူက ကားရႏိုင္ေခ် ပိုမ်ားပါတယ္။ မထင္ရဘူးေနာ္။ ကစားတဲ့သူေတာ္ေတာ္မ်ားမ်ားကေတာ့ တံခါး A ကိုပဲ ဆက္ေရြးျဖစ္ပါတယ္။ Bayes Theorem အရ တံခါး B မွာ ကားရွိလ်က္နဲ႕ အစီအစဥ္တင္ဆက္တဲ့သူက တံခါး C ကို ဖြင့္ႏိုင္ေခ်က သံုးပံုႏွစ္ပံုရွိပါတယ္။ ဒါေပမယ့္  တံခါး A မွာ ကားရွိလ်က္နဲ႕ တံခါး C ကို ဖြင့္ႏိုင္ေခ်က ႏွစ္ပံုတစ္ပံုပဲ ရွိပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ ကစားတဲ့သူေတြက တံခါး B ေျပာင္းေရြးလိုက္ရင္ ကားရႏိုင္ေခ် ပိုမ်ားသြားတာပါ။ 

အေသးစိတ္ တြက္ထားတာကို ေအာက္မွာ ၾကည့္ႏိုင္ပါတယ္။

***********************************************************************************************************************

 ၁။ ဘယ္တံခါးေနာက္မွာ မဆို ကားရွိႏိုင္ေခ်က သံုးပံုတစ္ပံုရွိတယ္။

        P ( Car in A ) = P ( Car in B ) = P ( Car in C ) = 1/3

၂။ တံခါး A ေနာက္မွ ကားရွိလို႕ရွိရင္ Monty Hall က တံခါး C ကို ဖြင့္ေပးႏိုင္ေခ်က ႏွစ္ပံုတစ္ပံု ရွိပါတယ္။

        P ( Monty Hall chose B | Car in A ) = P ( Monty Hall chose C | Car in A ) = 1/2

၃။ တစ္ကယ္လို႕ တံခါး B ေနာက္မွာ ကားရွိလို႕ရွိရင္ေတာ့ Monty Hall က တံခါး C ကို မဖြင့္  မေနရ ဖြင့္ရပါေတာ့မယ္။

       P ( Monty Hall chose B | Car in B ) = 0

       P ( Monty Hall chose C | Car in B ) = 1

၄။ Bayes Theorem အရ Monty Hall က တံခါး C ကို ဖြင့္ျပလိုက္လို႕ရွိရင္ တံခါး B ေနာက္မွာ ကားရွိႏိုင္ေခ် 

       P ( Car in B | Monty Hall chose C )  

  

   =                        P ( Monty Hall chose C | Car in B )    x    P ( Car in B )                                            

                                                             P ( Monty Hall chose C )

   =                         P ( Monty Hall chose C | Car in B )    x    P ( Car in B )                                             

      P ( Monty Hall chose C | Car in B )  x  P ( Car in B )   +   P ( Monty Hall chose C | Car in A )  x  P ( Car in A )

   =                                                              1               x         1/3                                                        

                                      1             x        1/3               +          1/2       x          1/3

   =  2/3

၅။ Bayes Theorem အရ Monty Hall က တံခါး C ကို ဖြင့္ျပလိုက္လို႕ရွိရင္ တံခါး A ေနာက္မွာ ကားရွိႏိုင္ေခ် 

       P ( Car in A | Monty Hall chose C )  

  

    =                      P ( Monty Hall chose A | Car in B )     x    P ( Car in A )                                            

                                                             P ( Monty Hall chose C )

    =                      P ( Monty Hall chose C | Car in B )     x    P ( Car in B )                                             

      P ( Monty Hall chose C | Car in B )  x  P ( Car in B )  +  P ( Monty Hall chose C | Car in A )  x  P ( Car in A )

    =                                                            1/2           x      1/3                                                           

                                     1             x        1/3               +      1/2        x          1/3

    =  1/3